Двоичная

Двоичная система счисления

Прежде всего давайте разберемся, зачем нужна двоичная система, то есть рассмотрим передачу данных с помощью такой системы на практике.

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе используются всего две цифры (0 и 1).

Такие сигналы легко задать определенными уровнями напряжения в электронных схемах. Например 0 вольт — отсутствие напряжения можно считать логическим нулём, а напряжение в 5 вольт принять за единицу.

Выставляя различные уровни, можно осуществлять передачу данных в виде последовательностей нулей и единиц, а также реализовать ее обработку и хранение. На графике процесс передачи таких данных по одной линии (проводу) можно изобразить так:

Ступенька на графике говорит о наличии напряжения на линии (проводе), отсутствие ее - о том, что напряжение снято, выключено, т.е. вертикальная ось показывает уровень напряжения.  Горизонтальная ось отвечает за время, на которое было приложено напряжение (подан сигнал логической единицы) или напряжение отсутствовало (подан сигнал логического нуля).

Именно так выглядят протоколы передачи данных различных цифровых устройств, разумеется в действительности они более сложны, поскольку содержат не одну линию.

Протокол передачи данных — это набор правил и соглашений, который определяет процесс обмена данными между цифровыми устройствами (количество линий передачи, скорость, управляющие сигналы и т.д.).

Таким образом мы подсоединим провод к источнику напряжения 5 В и будем отключать/подключать источник (для удобства поставим ключ - обычный переключатель), в зависимости от того, что хотим выставить, ноль или единицу. Сигнал пойдет по проводу, на другом конце провода может находится устройство-приемник (в простейшем случае обычная лампочка или светодиод). Естественно, цепь нужно замкнуть, поскольку протекание тока возможно только в замкнутой цепи.

То есть одного провода недостаточно, понадобится минимум два - один подключим к плюсу источника питания и им же последовательно соединим переключатель и лампочку и назовем его линией (line), другой пойдет от лампочки к минусу источника питания - назовем его общим проводом или "землей" (также называют "масса"), в англоязычных источниках он обозначается GND (от "ground" - земля). Дело в том, что для нескольких линий передачи можно использовать один общий провод и он зачастую соединен с металлическим корпусом прибора (приемника, передатчика), а тот в свою очередь заземлен, но это не всегда так, поэтому корректнее использовать название "общий".

В целом, передача происходит аналогично телеграфному способу азбуки Морзе, однако длительность сигналов («точка-тире») не учитывается, здесь всего два устойчивых состояния: есть сигнал (единица), нет сигнала (ноль).

Такой способ надежен и помехоустойчив, для передачи могут использоваться не только электрические сигналы, также световые (передача по оптоволокну), магнитные и т.д. Скорость передачи данных превосходит скорость телеграфирования с помощью кода Морзе, поскольку длительность сигналов невелика (зависит от аппаратуры) и для обоих состояний (0 и 1) одинакова, а в азбуке Морзе точка и тире имеют разную длительность и сама система ориентирована не на аппаратную обработку, а на восприятие человеком на слух.

Цифровые сигналы — это сигналы, имеющие два стабильных уровня — уровень логического нуля и уровень логической единицы. У микросхем, выполненных по различным технологиям, логические уровни могут отличаться друг от друга.

Предложенные уровни напряжения в 0 и 5 вольт, в действительности используются в технологии ТТЛ (транзисторно-транзисторная логика, широко используется при построении электронной и вычислительной аппаратуры). Однако за ноль в ТТЛ принимается сигнал от 0 до 0.4 вольта, за логическую единицу сигнал от 2.4 до 5 вольт, с целью учесть влияние помех, сопротивления и т.д.

История: двоичная система в современном представлении была полностью описана немецким философом и математиком Готтфридом Лейбницем в XVII веке в работе «Explication de l’Arithmetique Binaire» («Объяснение бинарной арифметики», источник на английском).

Применение: двоичная система используется в цифровой электронике, компьютерной технике. Существует ряд простых логических элементов (микросхем), производящих основные операции над числами двоичной системы.(«ИЛИ-НЕ», «2И-НЕ» и т.д.).

ПЕРЕВОД ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ В ДВОИЧНУЮ. ПРИМЕР 1:

Допустим, мы хотим закодировать с помощью всего двух цифр (нуля и единицы) число 45 для последующей передачи его с помощью электрических сигналов по проводу:

Для перевода числа 45 в двоичную систему разделим его нацело на два (два — это основание двоичной системы) и запишем остаток от деления:

45 / 2 = 22, в остатке 1, проверим: 22 * 2 + 1 = 44 + 1 = 45 (для проверки нужно результат умножить на делитель и прибавить остаток, получим исходное число, т.е. делимое)

ВАЖНО:

При делении на два остатком может быть либо ноль (в случае, если число четное), либо единица (если число нечетное).

Полученное частное (22) снова разделим на 2 и запишем остаток, и так до тех пор, пока не получим 0.

Итак, запишем перевод в двоичную систему полностью:

45 / 2 = 22 в остатке 1

22 / 2 = 11 в остатке 0

11 / 2 = 5 в остатке 1

5 / 2 = 2 в остатке 1

2 / 2 = 1 в остатке 0

1 / 2 = 0 в остатке 1

Затем нужно записать полученные остатки, начиная снизу, и мы получим представление числа в двоичной системе:

45₁₀ = 101101₂

Процесс передачи числа 45 по одной линии связи можно изобразить так:

Такая передача является последовательной.

Последовательная передача данных — передача цифрового сигнала данных, при которой его единичные элементы следуют поочередно по одной линии передачи.

Однако можно взять отдельную линию (провод) для каждого элемента:

Этот способ будет называться параллельной передачей.

Параллельная передача данных — передача цифрового сигнала, при которой его единичные элементы, объединенные в группы, передаются одновременно по отдельным каналам (линиям связи).

Очевидно, что скорость при параллельной передаче выше, чем при последовательной, однако требуются дополнительные линии.

РАСЧЕТ ДИАПАЗОНА ЧИСЕЛ ДЛЯ N ЛИНИЙ:

Числа, которые можно передать с помощью n линий определяются по формуле 2ⁿ-1. Например, у нас 3 линии, тогда 2³-1 = 7, следовательно, с помощью трех линий мы можем передать числа от 0 до 7, всего восемь значений.

РАСЧЕТ КОЛИЧЕСТВА ЛИНИЙ СВЯЗИ ДЛЯ ПЕРЕДАЧИ ЗАДАННОГО ЧИСЛА:

Наоборот, для определения количества линий связи, зная число, нужно прибавить к нему единицу и взять ближайшую к результату большую или равную ему степень двойки. Показатель степени и будет количеством линий, необходимым для параллельной передачи.

Например, число 15, прибавим единицу 15+1=16, ближайшая равная степень двух это 16, или 2⁴ , тогда для передачи всех чисел от 0 до 15 понадобится 4 линии.

Число 22, прибавим 1, 22+1=23, ближайшая большая степень двух это 32, или 2⁵, следовательно, для параллельной передачи чисел от 0 до 22 в двоичном коде необходимы 5 каналов связи.

Количество линий для передачи напрямую связано с разрядностью. Допустим, мы хотим передавать числа от 0 до 13, нам понадобится 13+1=14, ближайшая степень двойки 16 (два в четвертой, 2⁴), показатель 4, то есть 4 линии. Независимо от того, какое число будем передавать, будем использовать все 4 линии.

13₁₀ = 1101₂

4₁₀ = 0100₂

2₁₀ = 0010₂

ВАЖНО:
Нули перед двоичным числом не являются значащими, просто мы взяли за правило использовать все 4 линии (места) для записи двоичного числа. Первая значащая цифра любого двоичного числа всегда единица!

Разрядность двоичного числа — это количество знакомест (разрядов) или количество битов, заранее отведенных для записи числа.

Бит (англ. binary digit — двоичное число; также игра слов: англ. bit — кусочек, частица) — единица измерения количества информации, равная одному разряду в двоичной системе счисления. Один разряд двоичного кода (двоичная цифра) может принимать только два взаимоисключающих значения: "да" или "нет", "1" или "0", "включено" или "выключено".

Вернемся к переводу из десятичной в двоичную.

ПЕРЕВОД ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ В ДВОИЧНУЮ. ПРИМЕР 2:

Переведем в двоичную систему число 77:

77 / 2 = 38 в остатке 1

38 / 2 = 19 в остатке 

19 / 2 = 9 в остатке 1

9 / 2 = 4 в остатке 1

4 / 2 = 2 в остатке 0

2 / 2 = 1 в остатке 0
1 / 2 = 0 в остатке 1

77₁₀ = 1001101₂

Обратите внимание на последний шаг: 1 / 2 = 0 (в остатке 1), — он всегда одинаковый, и любое двоичное число (кроме нуля, конечно) будет всегда начинаться с 1, поэтому можно его и не выполнять, то есть, делить на два до тех пор, пока частное не станет равным единице и эту же единицу записать в качестве первой цифры полученного двоичного числа:

77 / 2 = 38 в остатке 1

38 / 2 = 19 в остатке 

19 / 2 = 9 в остатке 1

9 / 2 = 4 в остатке 1

4 / 2 = 2 в остатке 0

2 / 2 = 1 в остатке 0
1 / 2 =0 в остатке 1

Последняя цифра — 1

Результат такой же: 77₁₀ = 1001101₂

Как раз такой алгоритм перевода и предлагается в школьном курсе информатики, только используется запись в столбик. Например, переведем в двоичную систему число 83:

Однако при делении на два вряд ли целесообразно использовать запись в столбик, она громоздка. Также лучше все-таки делить до тех пор, пока последнее неполное частное не станет нулем, как в первом примере, это позволит избежать ошибок записи и ближе к универсальному правилу перевода из десятичной в любую другую позиционную — число составляется из остатков от деления на основание!

ВАЖНО:

При переводе в двоичную систему последний шаг: 1 / 2 = 0 (в остатке 1), — всегда одинаковый, и любое двоичное число (кроме нуля, конечно) будет всегда начинаться с 1 (первая значащая цифра всегда 1). Поэтому зачастую этот шаг пропускают, прекращая деление как только частное станет равным 1, эту же единицу и записывают в качестве первой значащей. Однако предпочтительно производить деление до тех пор, пока частное не станет равным нулю (как в примере 1) и не пропускать этот шаг, чтоб избежать ошибок при изучении других систем счисления.

Преимущества двоичной системы перед другими при использовании в компьютерной технике:

— для реализации нужны всего два устойчивых состояния (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.)

— представление информации посредством только двух таких состояний устойчиво к разного рода помехам (чем проще система, тем она надежней)

— возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований

— двоичная арифметика технически проще десятичной, арифметические операции могут выполняться логическими элементами микросхем.

Недостатком двоичной системы является довольно громоздкая запись больших чисел.